2026年10月30日晚7时，我校基础科学部首场 Student Research Seminar——Math+AI 项目成果分享会在教学楼 A309 举行。来自 CS、DT、IE 专业的四位大二同学江姜、姜雨含、李宜洋、张艾陶，围绕图论中的 chromatic villainy 问题，介绍了在王路嘉老师指导下参与完成的两篇研究论文（已公开于 arXiv 的预印本，尚未经期刊正式接收或发表），并分享了探索过程中的发现与成长。
项目于9月初启动，历时两个月，由基础科学部王路嘉老师负责，基础科学部部门经费提供支持，教师团队提供学术与技术支持。王瑞华老师作为项目指导教师之一，参与了项目初期的培训和选题阶段的讨论与指导。项目围绕组合数学中的开放问题，着重培养学生的数学阅读、编程、计算实验以及对AI辅助思路的核验能力。四位同学通过选拔考试入选，从基础知识学起，经历了选题、AI辅助研究、证明验证与论文写作等阶段，最终将成果整理成学术海报和报告。
与 AI 数学的快速发展同行
项目开展之际，AI 数学正经历快速发展。2026年5月，OpenAI 公布了 AI 对 Erdős 单位距离猜想的反驳；7月，AI 生成的圈双覆盖猜想证明公开，随后出现数学家撰写的解释性论文；9月，纳维–斯托克斯千禧难题的 AI 解答及 Lean 形式化证明也向公众发布。10月，又有一批涉及多个数学领域的 AI 研究成果集中公开。
从组合数学中的长期开放问题到千禧级难题，AI 正日益成为数学研究的重要工具，而新成果也有待研究者分析、检验和理解。我校 Math+AI 项目正是在这一背景下展开，让本科生通过一个具体问题参与研究，亲身认识 AI 能够提供怎样的帮助，以及研究者需要承担怎样的工作。
从基础训练走向当晚的学术报告
培训从图论与组合数学的基本概念和方法展开，师生还共同讨论了 AI 给出的圈双覆盖猜想证明。通过逐步拆解论证，同学们学习怎样使用定义、辨认推理所需的条件，并理解不同方法如何配合。在寻找和选择研究问题时，师生同样借助了 AI，结合它对候选问题的评估与进一步讨论，逐渐确定了 chromatic villainy 这一研究方向。随后，团队借助 AI 探索思路、开展计算，并反复检查证明，将研究整理成两篇论文。
这两个月积累的思考，汇成了10月30日晚报告中的定义、例子和证明。面对现场听众，张艾陶（IE）以自信、优雅的表达开启分享，从简单的染色规则引出大家共同研究的问题。把若干个点用线连接起来，给每个点涂上颜色，并要求相连的两点颜色不同，就得到图的合法染色。如果先用最少的颜色完成染色，再把颜色的位置打乱，同时保持每种颜色的数量，恢复合法染色最少需要改动多少个点？在所有这样的合法染色及其颜色重排中，最难修复的情形，便由 chromatic villainy 刻画。
这里计算的是颜色改变的顶点数，修复时仍须保持各颜色的数量。以五个点排成的一条路径为例，合法染色可以是 A—B—A—B—A；若被打乱成 B—A—B—A—A，虽然只有末端一条边发生同色冲突，但在保持三个 A、两个 B 的要求下，需要改动四个点才能恢复合法染色。张艾陶借助这类简单例子，让听众看见了局部冲突如何牵动整体的颜色分配，也为后续的研究结果作了铺垫。
从奇圈到不交并的意外发现
姜雨含（DT）接着介绍奇圈的精确结果，结合具体例子讲解证明的主要思路。Clark 等人于2006年提出了奇圈的 chromatic villainy 精确值问题；二十年后，团队给出了完整回答：对至少五个顶点的任意奇圈，其 villainy 恰好等于顶点数减一再除以二。五个、七个、九个点围成的圈，对应的值分别是 2、3、4。
以七个点的圈为例，在保持各颜色数量的条件下，无论最优合法染色的颜色怎样被打乱，总能通过改动不超过三个点恢复合法染色；同时，确实存在必须改动三个点的情形。证明既给出了修复的保证，也说明这个界限无法再降低。参与这样的研究，让姜雨含体会到了信心的重要性：面对陌生概念和复杂证明，信心支持她继续追问；亲自弄清一个个细节，又让信心有了更扎实的依据。
江姜（CS）随后将话题推进到更复杂的染色扰动与组合结构，从完全多部图的矩阵表示讲到图的不交并。把两个互不相连的图放在一起，整体的修复难度会怎样变化？在允许修复时调整各颜色数量的“弱 villainy”版本中，结果甚至会下降：一棵由两个相连中心及各自九片叶子构成的树，原先的弱 villainy 为 10，加入一个完全不相连的三角形后，整体却不超过 9。原因在于，整体可用的最少颜色数从两种变成三种，多出的颜色带来了新的修复可能。
即使坚持保留每种颜色的数量，整体代价也未必达到各部分代价之和。团队构造的一个图，单独的 villainy 为 12；两个相同副本组成不交并后，整体却不超过 22，低于 12 加 12。江姜的讲解揭示了这一意外现象背后的联系：看似独立的部分，会因颜色总量及其跨部分的分配而相互影响，局部结构与整体约束需要放在一起理解。
算法结果与网络韧性的联系
从图的结构转向计算问题，李宜洋（DT）结合对 P 与 NP 问题的深入理解，讨论了有效求解与验证答案的区别，并介绍了团队的算法结果：对任意预先固定的整数阈值，都可以在关于图规模的多项式时间内，判断 villainy 是否等于或不超过这一阈值。进一步的固定参数算法，将复杂度中依赖阈值的部分与图规模的多项式部分分开，且多项式的次数不随阈值改变，为理解这一问题的计算复杂度提供了答案。
李宜洋也在报告中谈到了网络韧性的潜在应用。对于能够用图染色描述的网络，颜色可以对应频段、时隙或资源类别，相邻顶点不能同色则代表冲突约束。在这样的模型中，chromatic villainy 可从修复成本的角度刻画网络韧性，衡量配置遭遇最不利的颜色重排后，恢复合法状态至少需要调整多少个节点。在相同的扰动与修复规则下，数值越大，最坏情况下的恢复代价越高。
她进一步谈到，在网络对抗中，了解自身网络的恢复能力，也理解对方网络的结构与恢复难度，有助于做到“知己知彼”，更有依据地思考防护和资源配置。这也为后续研究提出了具体问题：如何让模型中的颜色配额、扰动规则与真实系统的限制相匹配。谈及这段研究经历，李宜洋分享了科学发现带来的意外与惊喜。一个同时涉及“最坏扰动”和“最优修复”的问题，竟能得到这样的算法结论，正是这份惊喜的由来；出乎意料的结果，也成为继续探索的动力。
在 AI 时代坚持真实理解
四位同学的报告展现了研究结果，也让“如何真正理解这些结果”成为现场讨论的自然延伸。学生分享之后，项目负责人王路嘉结合 AI 时代数学科研的具体范例，讨论了人工智能进入科研与现实生活之后，人应当如何保持判断。他把最重要的一点概括为“be real”：真实地面对问题，也真实地面对自己的理解程度。
对于数学研究，这意味着要扎实地拆解 AI 输出的证明，核对定义是否用对、推导依赖什么条件，以及看似自然的推广是否存在反例。能否用自己的语言解释关键步骤、回答别人提出的疑问，是检验理解的具体方式。这样的要求也体现在项目论文中：两篇论文均披露了 AI 辅助的使用，并明确由作者对证明、计算和结论负责。工具可以帮助打开思路、加快探索，读懂并消化证明、判断论证是否成立，仍然是研究者的工作。
王路嘉也提醒，盲目借助 AI 去“fake it”，并不会因此“make it”。如果成果看起来完整，自己却无法说明其中的理由，外在的完成感就很难转化为内在的能力与信心，甚至可能引发意义危机。当 AI 更深入地参与科研与现实生活，一个人真正理解了什么、能够作出怎样的独立判断，才是定义其个人发展与贡献水平的依据。对四位同学而言，这次项目正提供了一个具体的实践机会，让他们在使用 AI 的同时，形成自己的理解。
以数学原著鼓励继续探索
这份对理解与思考的重视，也延续到了项目对后续学习与研究的支持中。项目为四位同学提供了英文原版数学参考书籍，为他们持续开展数学学习、拓展本项目的相关研究提供阅读与参考资料。从《Proofs from THE BOOK》中的经典证明，到《The Art of Mathematics》中的数学问题，书籍为同学们打开了继续探索的入口，鼓励他们在新的阅读中延续研究中积累的耐心与好奇心，发挥想象力，提出并探索新的问题。
基础科学部与指导教师团队的支持，让同学们有机会在本科阶段接触真实的研究问题，并走过从基础学习到成果交流的完整过程。这场 Student Research Seminar 既是阶段性成果的展示，也是师生共同学习、讨论与反复求证过程的呈现。感谢参与项目的师生，也祝贺四位同学完成这一阶段的研究与分享。期待他们带着新的问题继续探索，把学到的知识与形成的判断转化为今后学习和科研的能力。在 AI 时代，认真提出问题，亲自理解证明，并对自己交出的结果负责，正是这次项目希望留下的收获。
延伸阅读
1. Exact and extremal values of chromatic villainy
2. Disjoint unions and fixed-parameter algorithms for chromatic villainy
